Barisan dan Deret Geometri
A Pengertian Barisan Geometri
Apa Itu Barisan Geometri?
Barisan geometri adalah urutan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) tetap antara dua suku yang berurutan.
📌 Definisi:
Barisan bilangan \(U_1, U_2, U_3, ..., U_n\) disebut barisan geometri jika hasil bagi antara dua suku berurutan selalu sama (tetap).
Contoh Barisan Geometri:
Contoh 1: 2, 6, 18, 54, 162, ...
Rasio: \(\frac{6}{2} = 3\), \(\frac{18}{6} = 3\), \(\frac{54}{18} = 3\)
✓ Ini barisan geometri dengan rasio = 3
Contoh 2: 64, 32, 16, 8, 4, ...
Rasio: \(\frac{32}{64} = \frac{1}{2}\), \(\frac{16}{32} = \frac{1}{2}\), \(\frac{8}{16} = \frac{1}{2}\)
✓ Ini barisan geometri dengan rasio = \(\frac{1}{2}\)
Bukan Barisan Geometri: 2, 5, 8, 11, 14, ...
Rasio: \(\frac{5}{2} = 2.5\), \(\frac{8}{5} = 1.6\), \(\frac{11}{8} = 1.375\)
✗ Rasio tidak tetap (ini barisan aritmetika)
Notasi Barisan:
- • \(U_1\) = suku pertama (biasa dilambangkan \(a\))
- • \(U_2\) = suku kedua
- • \(U_3\) = suku ketiga
- • \(U_n\) = suku ke-n
- • \(r\) = rasio (pembanding)
B Rasio (Pembanding)
Menentukan Rasio
Rasio dilambangkan dengan \(r\) adalah hasil bagi antara dua suku yang berurutan.
📐 Rumus Rasio:
\(r = \frac{U_n}{U_{n-1}}\)
Atau: \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3}\), dst.
Jenis Rasio:
Rasio \(r \gt 1\)
Barisan naik cepat
Contoh:
2, 6, 18, 54, ...
r = 3
Rasio \(0 \lt r \lt 1\)
Barisan turun lambat
Contoh:
16, 8, 4, 2, ...
r = 1/2
Rasio \(r \lt 0\)
Barisan bolak-balik tanda
Contoh:
2, -6, 18, -54, ...
r = -3
⚠️ Perbedaan dengan Aritmetika:
- • Aritmetika: Selisih tetap (operasi: pengurangan)
- • Geometri: Rasio tetap (operasi: pembagian)
C Rumus Suku ke-n
Mencari Suku ke-n (\(U_n\))
📐 Rumus Utama:
\(U_n = a \times r^{n-1}\)
dengan:
• \(U_n\) = suku ke-n
• \(a\) = suku pertama (\(U_1\))
• \(r\) = rasio
• \(n\) = nomor suku
Penurunan Rumus:
\(U_1 = a = a \times r^0 = a \times r^{1-1}\)
\(U_2 = a \times r = a \times r^1 = a \times r^{2-1}\)
\(U_3 = a \times r^2 = a \times r^{3-1}\)
\(U_4 = a \times r^3 = a \times r^{4-1}\)
\(U_n = a \times r^{n-1}\)
Contoh Penggunaan:
Tentukan suku ke-6 dari barisan: 3, 6, 12, 24, ...
Diketahui:
\(a = 3\), \(r = 2\), \(n = 6\)
Penyelesaian:
\(U_6 = a \times r^{n-1}\)
\(U_6 = 3 \times 2^{6-1}\)
\(U_6 = 3 \times 2^5\)
\(U_6 = 3 \times 32\)
\(U_6 = 96\)
D Deret Geometri
Pengertian Deret
Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.
Barisan Geometri
Urutan bilangan dengan rasio tetap
2, 6, 18, 54, 162
Deret Geometri
Penjumlahan suku-suku barisan
2 + 6 + 18 + 54 + 162
Notasi Deret:
\(S_n = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n\)
\(S_n\) = jumlah n suku pertama
E Rumus Jumlah n Suku Pertama
Mencari \(S_n\)
Ada 2 rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama, tergantung nilai \(r\):
Rumus 1: Jika \(r \gt 1\)
\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
• Digunakan ketika rasio lebih besar dari 1
• Barisan naik (membesar)
Rumus 2: Jika \(r \lt 1\)
\(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
• Digunakan ketika rasio kurang dari 1
• Barisan turun (mengecil)
💡 Tips Memilih Rumus:
- • Jika \(r \gt 1\) → gunakan \(\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
- • Jika \(r \lt 1\) → gunakan \(\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
- • Sebenarnya kedua rumus sama, hanya berbeda penulisan
Contoh:
Hitunglah jumlah 5 suku pertama dari barisan: 2, 6, 18, 54, ...
Diketahui:
\(a = 2\), \(r = 3\) (\(r \gt 1\)), \(n = 5\)
Menggunakan Rumus 1:
\(S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1}\)
\(S_5 = \frac{2(243 - 1)}{2}\)
\(S_5 = \frac{2 \times 242}{2}\)
\(S_5 = \frac{484}{2}\)
\(S_5 = 242\)
F Perbandingan Aritmetika dan Geometri
Perbedaan Kunci
| Aspek | Barisan Aritmetika | Barisan Geometri |
|---|---|---|
| Pola | Selisih tetap (beda) | Rasio tetap (pembanding) |
| Simbol | \(b\) (beda) | \(r\) (rasio) |
| Rumus\(b/r\) | \(b = U_n - U_{n-1}\) | \(r = \frac{U_n}{U_{n-1}}\) |
| Operasi | Pengurangan (-) | Pembagian (÷) |
| Rumus \(U_n\) | \(U_n = a + (n-1)b\) | \(U_n = a \times r^{n-1}\) |
| Rumus \(S_n\) | \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]\) | \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\) |
| Contoh | 2, 5, 8, 11, 14, ... | 2, 6, 18, 54, 162, ... |
Ciri Aritmetika:
- • Pertambahan/pengurangan konstan
- • Pola linear
- • Contoh: 3, 7, 11, 15, ...
Ciri Geometri:
- • Perkalian/pembagian konstan
- • Pola eksponensial
- • Contoh: 3, 9, 27, 81, ...
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Suku ke-3 suatu barisan geometri adalah 12 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan suku pertama dan rasio!
Pembahasan:
\(U_3 = 12\) → \(ar^2 = 12\) ... (1)
\(U_5 = 48\) → \(ar^4 = 48\) ... (2)
Bagi (2) dengan (1):
\(\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{48}{12}\) → \(r^2 = 4\) → \(r = 2\)
Substitusi ke (1): \(a(2)^2 = 12\) → \(4a = 12\) → \(a = 3\)
Jawaban: \(a = 3\), \(r = 2\)
Contoh 2:
Diketahui barisan geometri dengan \(a = 4\) dan \(r = \frac{1}{2}\). Hitunglah \(S_6\)!
Pembahasan:
Karena \(r \lt 1\), gunakan: \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_6 = \frac{4(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}}\)
\(S_6 = \frac{4(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}}\)
\(S_6 = \frac{4 \times \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{252}{64}}{\frac{1}{2}}\)
\(S_6 = \frac{252}{64} \times 2 = \frac{252}{32}\)
\(S_6 = 7.875\) atau \(7\frac{7}{8}\)
H Latihan Soal
1. Tentukan suku ke-7 dari barisan: 3, 9, 27, 81, ...
Lihat Jawaban
\(a = 3\), \(r = 3\), \(n = 7\)
\(U_7 = 3 \times 3^{7-1} = 3 \times 3^6\)
\(U_7 = 3 \times 729\)
\(U_7 = 2187\)
2. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 16 dan rasio \(\frac{1}{2}\). Tentukan suku ke-5!
Lihat Jawaban
\(a = 16\), \(r = \frac{1}{2}\), \(n = 5\)
\(U_5 = 16 \times (\frac{1}{2})^{5-1} = 16 \times (\frac{1}{2})^4\)
\(U_5 = 16 \times \frac{1}{16}\)
\(U_5 = 1\)
3. Hitunglah jumlah 4 suku pertama dari barisan: 2, 6, 18, 54, ...
Lihat Jawaban
\(a = 2\), \(r = 3\) (\(r \gt 1\)), \(n = 4\)
\(S_4 = \frac{2(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(81 - 1)}{2}\)
\(S_4 = \frac{2 \times 80}{2} = 80\)
\(S_4 = 80\)
4. Tentukan rasio dari barisan geometri jika \(U_2 = 6\) dan \(U_5 = 162\)!
Lihat Jawaban
\(\frac{U_5}{U_2} = r^3\)
\(\frac{162}{6} = r^3\)
\(27 = r^3\)
\(r = 3\)
5. Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap jam. Jika awalnya ada 5 bakteri, berapa banyak bakteri setelah 6 jam?
Lihat Jawaban
Ini barisan geometri dengan:
\(a = 5\), \(r = 2\), \(n = 7\) (awal + 6 jam)
\(U_7 = 5 \times 2^{7-1} = 5 \times 2^6\)
\(U_7 = 5 \times 64\)
\(U_7 = 320\) bakteri
Rangkuman
- • Barisan geometri = urutan bilangan dengan rasio tetap
- • Rasio (r) = hasil bagi antara dua suku berurutan
- • Rumus suku ke-n: \(U_n = a \times r^{n-1}\)
- • Deret geometri = penjumlahan suku-suku barisan
- • Rumus jumlah: \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\) (jika \(r \gt 1\)) atau \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) (jika \(r \lt 1\))
- • Perbedaan: Aritmetika pakai selisih, Geometri pakai rasio
Pelajari Materi Matematika Kelas 9 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Geometri sedang dibaca
- 2. Hubungan Geometri Bangun Datar dan Ruang
- 3. Jarak Antarobjek Geometri
- 4. Kesebangunan dan Kekongruenan
- 5. Peluang Kejadian Tunggal
- 6. Program Linear
- 7. Teorema Pythagoras
- 8. Volume dan Luas Permukaan Bangun Ruang
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.