Teorema Pythagoras
A Pengertian dan Sejarah
Apa Itu Teorema Pythagoras?
Teorema Pythagoras adalah teorema matematika yang menyatakan hubungan antara sisi-sisi pada segitiga siku-siku.
📐 Bunyi Teorema:
"Kuadrat sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya"
Segitiga Siku-Siku:
Unsur-unsur:
- • Sisi miring (c) - sisi terpanjang
- • Sisi tegak (a, b) - sisi yang membentuk sudut siku-siku
- • Sudut siku-siku = 90°
Ilustrasi:
△
Segitiga Siku-Siku
c = hipotenusa
a, b = sisi tegak
📚 Sejarah Singkat:
Teorema ini dinamakan dari Pythagoras, seorang matematikawan Yunani kuno (sekitar 570-495 SM). Meskipun teorema ini sudah diketahui oleh bangsa Babilonia dan Mesir jauh sebelumnya, Pythagoras adalah orang pertama yang membuktikannya secara matematis.
B Rumus Teorema Pythagoras
Tiga Bentuk Rumus
Rumus Utama:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
c = sisi miring (hipotenusa)
a, b = sisi-sisi tegak
Mencari Sisi Miring (c):
\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Digunakan ketika kedua sisi tegak diketahui
Mencari Sisi Tegak (a atau b):
\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
Digunakan ketika sisi miring dan satu sisi tegak diketahui
Contoh Perhitungan:
Mencari c:
Diketahui: a = 3, b = 4
\(c = \sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(c = \sqrt{9 + 16}\)
\(c = \sqrt{25}\)
\(c = 5\)
Mencari a:
Diketahui: c = 13, b = 5
\(a = \sqrt{13^2 - 5^2}\)
\(a = \sqrt{169 - 25}\)
\(a = \sqrt{144}\)
\(a = 12\)
C Triple Pythagoras
Bilangan Triple Pythagoras
Triple Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif (a, b, c) yang memenuhi persamaan \(a^2 + b^2 = c^2\).
💡 Manfaat:
Mengetahui triple Pythagoras membantu mempercepat perhitungan tanpa perlu menggunakan akar kuadrat!
Triple Pythagoras yang Sering Muncul:
Basic
3 - 4 - 5
\(3^2 + 4^2 = 5^2\)
\(9 + 16 = 25\)
Medium
5 - 12 - 13
\(5^2 + 12^2 = 13^2\)
\(25 + 144 = 169\)
Advanced
8 - 15 - 17
\(8^2 + 15^2 = 17^2\)
\(64 + 225 = 289\)
Kelipatan Triple Pythagoras:
Jika (a, b, c) adalah triple Pythagoras, maka kelipatannya juga triple Pythagoras!
Dari 3-4-5:
- • 6 - 8 - 10 (×2)
- • 9 - 12 - 15 (×3)
- • 12 - 16 - 20 (×4)
- • 15 - 20 - 25 (×5)
Dari 5-12-13:
- • 10 - 24 - 26 (×2)
- • 15 - 36 - 39 (×3)
- • 20 - 48 - 52 (×4)
Triple Lainnya:
7-24-25, 9-40-41, 11-60-61, 12-35-37, 13-84-85, 20-21-29
D Kebalikan Teorema Pythagoras
Menentukan Jenis Segitiga
Kebalikan teorema Pythagoras digunakan untuk menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisinya.
1. Segitiga Siku-Siku
Jika \(c^2 = a^2 + b^2\)
Contoh: Sisi 3, 4, 5
\(5^2 = 3^2 + 4^2\) → \(25 = 9 + 16\) ✓
Segitiga siku-siku
2. Segitiga Lancip
Jika \(c^2 < a^2 + b^2\)
Contoh: Sisi 5, 6, 7
\(7^2\) vs \(5^2 + 6^2\) → \(49 < 61\) ✓
Segitiga lancip
3. Segitiga Tumpul
Jika \(c^2 > a^2 + b^2\)
Contoh: Sisi 3, 4, 6
\(6^2\) vs \(3^2 + 4^2\) → \(36 > 25\) ✓
Segitiga tumpul
📍 Catatan Penting:
c selalu sisi terpanjang! Bandingkan kuadrat sisi terpanjang dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya.
E Penerapan dalam Soal
Tipe-Tipe Soal
1. Mencari Panjang Sisi
Gunakan rumus Pythagoras dasar untuk mencari sisi yang belum diketahui
Tip: Identifikasi dulu mana sisi miring dan sisi tegak
2. Diagonal Persegi Panjang
Diagonal membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku
\(d = \sqrt{p^2 + l^2}\)
d = diagonal, p = panjang, l = lebar
3. Tinggi Segitiga Sama Kaki/Sama Sisi
Garis tinggi tegak lurus dengan alas membentuk segitiga siku-siku
Bagi alas menjadi dua sama panjang, lalu gunakan Pythagoras
4. Jarak Dua Titik pada Koordinat
Jarak antara A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂)
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
F Aplikasi dalam Kehidupan
🏗️ Konstruksi Bangunan
Memastikan dinding tegak lurus dengan lantai, menghitung panjang tangga
📐 Navigasi & Pemetaan
Menghitung jarak terpendek, menentukan posisi dengan GPS
⚽ Olahraga
Menghitung jarak tendangan diagonal dalam lapangan sepak bola
📺 Teknologi
Ukuran diagonal layar TV/monitor dihitung dengan Pythagoras
🚁 Penerbangan
Menghitung jarak tempuh pesawat yang terbang dengan ketinggian tertentu
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Sebuah tangga dengan panjang 13 m disandarkan pada dinding. Jika jarak ujung bawah tangga dengan dinding 5 m, berapa tinggi ujung atas tangga dari tanah?
Pembahasan:
Diketahui: Sisi miring (tangga) = 13 m, sisi tegak (jarak ke dinding) = 5 m
Ditanya: Tinggi (sisi tegak lainnya)
\(t = \sqrt{c^2 - a^2}\)
\(t = \sqrt{13^2 - 5^2}\)
\(t = \sqrt{169 - 25}\)
\(t = \sqrt{144}\)
\(t = 12\) m
Contoh 2:
Tentukan apakah segitiga dengan sisi 7 cm, 24 cm, dan 25 cm merupakan segitiga siku-siku!
Pembahasan:
Sisi terpanjang = 25 cm (c)
Cek: \(c^2 = a^2 + b^2\)?
\(25^2 = 7^2 + 24^2\)?
\(625 = 49 + 576\)?
\(625 = 625\) ✓
Ya, segitiga siku-siku (7-24-25 adalah triple Pythagoras)
H Latihan Soal
1. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak 6 cm dan 8 cm. Berapa panjang sisi miringnya?
Lihat Jawaban
\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(c = \sqrt{6^2 + 8^2}\)
\(c = \sqrt{36 + 64}\)
\(c = \sqrt{100}\)
\(c = 10\) cm (triple 6-8-10)
2. Diagonal sebuah persegi panjang adalah 15 cm. Jika panjangnya 12 cm, berapa lebarnya?
Lihat Jawaban
Diagonal = sisi miring, panjang & lebar = sisi tegak
\(l = \sqrt{d^2 - p^2}\)
\(l = \sqrt{15^2 - 12^2}\)
\(l = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81}\)
\(l = 9\) cm
3. Apakah segitiga dengan sisi 9 cm, 12 cm, dan 15 cm merupakan segitiga siku-siku?
Lihat Jawaban
Cek: \(15^2 = 9^2 + 12^2\)?
\(225 = 81 + 144\)?
\(225 = 225\) ✓
Ya, segitiga siku-siku (kelipatan 3-4-5)
4. Tinggi sebuah segitiga sama sisi dengan sisi 10 cm adalah?
Lihat Jawaban
Tinggi membagi alas menjadi 2 bagian = 5 cm
\(t = \sqrt{10^2 - 5^2}\)
\(t = \sqrt{100 - 25}\)
\(t = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)
\(t = 5\sqrt{3}\) cm \(\approx 8.66\) cm
5. Jarak dari titik A(2, 3) ke titik B(6, 6) adalah?
Lihat Jawaban
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
\(d = \sqrt{(6-2)^2 + (6-3)^2}\)
\(d = \sqrt{4^2 + 3^2}\)
\(d = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\)
\(d = 5\) satuan
Rangkuman
- • Teorema Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2\)
- • Berlaku untuk segitiga siku-siku
- • Triple Pythagoras: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, dll
- • Kebalikan: untuk menentukan jenis segitiga
- • \(c^2 = a^2 + b^2\) → siku-siku | \(c^2 < a^2 + b^2\) → lancip | \(c^2 > a^2 + b^2\) → tumpul
- • Aplikasi: konstruksi, navigasi, diagonal, jarak titik
Pelajari Materi Matematika Kelas 9 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Geometri
- 2. Hubungan Geometri Bangun Datar dan Ruang
- 3. Jarak Antarobjek Geometri
- 4. Kesebangunan dan Kekongruenan
- 5. Peluang Kejadian Tunggal
- 6. Program Linear
- 7. Teorema Pythagoras sedang dibaca
- 8. Volume dan Luas Permukaan Bangun Ruang
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.