Aturan Pencacahan
A Pengertian Aturan Pencacahan
Apa Itu Pencacahan?
Aturan pencacahan adalah cara untuk menghitung banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi dari suatu peristiwa tanpa harus mendaftar semua kemungkinan satu per satu.
🎯 Tujuan:
Menghitung jumlah cara atau kemungkinan dengan efisien dan sistematis.
Contoh Sederhana:
Masalah: Kamu punya 3 baju (A, B, C) dan 2 celana (X, Y). Berapa banyak cara berpakaian?
Cara Manual:
AX, AY, BX, BY, CX, CY = 6 cara
Aturan Perkalian:
3 × 2 = 6 cara
Jenis-Jenis Aturan Pencacahan:
Aturan Penjumlahan
Untuk pilihan "atau"
Aturan Perkalian
Untuk pilihan "dan"
Permutasi
Urutan penting
Kombinasi
Urutan tidak penting
B Aturan Penjumlahan
Konsep Aturan Penjumlahan
Aturan penjumlahan digunakan jika ada beberapa pilihan berbeda dan kita hanya akan memilih SATU dari pilihan tersebut (kata kunci: "atau").
Rumus:
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B)\)
Jika A dan B tidak overlap (saling lepas)
Karakteristik:
- • Dua atau lebih kejadian tidak terjadi bersamaan
- • Memilih salah satu, bukan keduanya
- • Menggunakan "atau" dalam kalimat
Contoh:
Soal: Dari rumah ke sekolah ada 3 jalan berbeda. Dari rumah ke pasar ada 2 jalan berbeda. Berapa cara pergi dari rumah ke sekolah ATAU pasar?
Penyelesaian:
Cara = 3 + 2 = 5 cara
(Karena kita pilih salah satu: sekolah ATAU pasar)
C Aturan Perkalian
Konsep Aturan Perkalian
Aturan perkalian digunakan jika suatu kejadian terdiri dari beberapa tahap berurutan yang harus dilakukan SEMUA (kata kunci: "dan").
Rumus:
\(n(A \times B) = n(A) \times n(B)\)
Atau untuk k tahap:
\(n_1 \times n_2 \times n_3 \times ... \times n_k\)
Karakteristik:
- • Ada beberapa tahap/langkah yang harus dilakukan
- • Setiap tahap independen (tidak saling mempengaruhi)
- • Menggunakan "dan" atau "kemudian"
Contoh:
Soal: Sebuah kode terdiri dari 1 huruf DAN 1 angka. Ada 26 huruf dan 10 angka. Berapa banyak kode yang mungkin?
Penyelesaian:
Cara = 26 × 10 = 260 kode
(Karena harus pilih huruf DAN angka)
D Faktorial
Pengertian Faktorial
Faktorial dari bilangan bulat positif n (ditulis n!) adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n.
Rumus:
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1\)
Catatan khusus:
\(0! = 1\) dan \(1! = 1\)
Contoh Perhitungan:
3!
= 3 × 2 × 1 = 6
5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
4!
= 4 × 3 × 2 × 1 = 24
6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
Sifat Faktorial:
• \(n! = n \times (n-1)!\)
• \(\frac{n!}{(n-1)!} = n\)
• \(\frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times ... \times (n-r+1)\)
E Permutasi
Pengertian Permutasi
Permutasi adalah susunan/pengaturan objek dengan memperhatikan urutan. Urutan penting!
Rumus Permutasi:
1. Permutasi n objek:
\(P(n) = n!\)
2. Permutasi r dari n:
\(P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)
Mengambil r objek dari n objek (urutan penting)
Contoh Kasus Permutasi:
Soal: Berapa cara menyusun 3 buku berbeda di rak?
P(3) = 3! = 6 cara
Soal: Ada 5 orang, dipilih 3 untuk jadi ketua, wakil, sekretaris. Berapa cara?
P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 120/2 = 60 cara
💡 Kapan Pakai Permutasi?
Ketika urutan atau posisi berpengaruh pada hasil (ketua ≠ sekretaris)
F Kombinasi
Pengertian Kombinasi
Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutan. Urutan tidak penting!
Rumus Kombinasi:
Kombinasi r dari n:
\(C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
Atau sering ditulis:
\(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
Contoh Kasus Kombinasi:
Soal: Dari 5 orang, akan dipilih 3 orang untuk menjadi tim. Berapa cara?
C(5,3) = 5!/(3!×2!) = (5×4×3!)/(3!×2×1) = 20/2 = 10 cara
(Urutan tidak penting: ABC = ACB = BAC)
Soal: Ada 7 bola, ambil 2. Berapa cara?
C(7,2) = 7!/(2!×5!) = (7×6)/(2×1) = 21 cara
💡 Kapan Pakai Kombinasi?
Ketika siapa yang dipilih penting, tapi urutan/posisi tidak penting (anggota tim = anggota tim)
Perbedaan Permutasi vs Kombinasi:
| Aspek | Permutasi | Kombinasi |
|---|---|---|
| Urutan | Penting | Tidak penting |
| Rumus | n!/(n-r)! | n!/[r!(n-r)!] |
| Contoh | Susunan huruf | Memilih tim |
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1 - Aturan Perkalian:
Kode PIN terdiri dari 4 angka. Tiap angka bisa dipilih dari 0-9. Berapa banyak PIN yang mungkin?
Pembahasan:
Setiap posisi ada 10 pilihan (0-9)
4 posisi harus diisi semua (AND)
Gunakan aturan perkalian:
Banyak PIN = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000
Ada 10.000 PIN yang mungkin
Contoh 2 - Kombinasi:
Dari 6 siswa, akan dipilih 4 untuk menjadi pengurus kelas (tanpa jabatan khusus). Berapa cara?
Pembahasan:
Karena tanpa jabatan khusus, urutan tidak penting → Kombinasi
C(6,4) = \(\frac{6!}{4! \times 2!}\)
= \(\frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1}\)
= \(\frac{30}{2}\) = 15
Ada 15 cara memilih
H Latihan Soal
1. Hitunglah 5!
Lihat Jawaban
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 120
5! = 120
2. Berapa cara menyusun 4 orang dalam satu baris?
Lihat Jawaban
Permutasi 4 objek:
P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Ada 24 cara
3. Dari 7 pemain, dipilih 5 untuk menjadi pemain inti (tanpa posisi khusus). Berapa cara?
Lihat Jawaban
Kombinasi (urutan tidak penting):
C(7,5) = 7!/(5!×2!) = (7×6)/(2×1) = 21
Ada 21 cara
4. Hitunglah P(6,3)
Lihat Jawaban
P(6,3) = 6!/(6-3)! = 6!/3!
= (6×5×4×3!)/ 3! = 6×5×4 = 120
P(6,3) = 120
5. Ada 3 jalan dari A ke B dan 4 jalan dari B ke C. Berapa cara dari A ke C melalui B?
Lihat Jawaban
Harus melalui B (AND → perkalian):
Cara = 3 × 4 = 12
Ada 12 cara
Rangkuman
- • Penjumlahan: Pilihan "ATAU" → n₁ + n₂
- • Perkalian: Tahap "DAN" → n₁ × n₂
- • Faktorial: n! = n × (n-1) × ... × 1
- • Permutasi: Urutan penting → P(n,r) = n!/(n-r)!
- • Kombinasi: Urutan tidak penting → C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]
- • Tips: Jika ada "ketua, wakil" → Permutasi. Jika "tim" → Kombinasi
Pelajari Materi Matematika Kelas 7 Lainnya:
- 1. Aturan Pencacahan sedang dibaca
- 2. Domain, Range, dan Representasi Fungsi
- 3. Hubungan Sudut, Garis, dan Bidang
- 4. Jenis dan Sifat Bilangan Riil
- 5. Operasi Bilangan Riil
- 6. Penyajian Data
- 7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
- 8. Transformasi Geometri
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.