Transformasi Geometri
A Pengertian Transformasi Geometri
Apa Itu Transformasi?
Transformasi geometri adalah perubahan yang dilakukan pada suatu bangun geometri, baik posisi, bentuk, maupun ukurannya.
📌 Definisi:
Transformasi adalah pemetaan (fungsi) yang mengubah setiap titik pada bidang menjadi titik lain pada bidang yang sama.
Jenis-Jenis Transformasi:
1. Translasi
Pergeseran bangun ke posisi baru
2. Refleksi
Pencerminan bangun terhadap garis/sumbu
3. Rotasi
Perputaran bangun terhadap titik pusat
4. Dilatasi
Perbesaran/perkecilan bangun
💡 Penting:
Dalam transformasi, titik awal disebut bayangan awal dan titik hasil disebut bayangan (biasanya diberi tanda aksen ', misalnya A → A')
B Translasi (Pergeseran)
Pengertian Translasi
Translasi adalah pergeseran setiap titik pada suatu bangun dengan jarak dan arah tertentu.
📐 Rumus Translasi:
Jika titik A(x, y) ditranslasi oleh \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)
\(A'(x', y') = (x+a, y+b)\)
a = pergeseran horizontal, b = pergeseran vertikal
Sifat-Sifat Translasi:
1. Bentuk dan Ukuran Tetap
Bangun tidak berubah bentuk dan ukuran, hanya berpindah posisi
2. Jarak Tetap
Jarak antar titik pada bangun tetap sama
3. Searah dan Sejajar
Semua titik bergerak dengan arah dan jarak yang sama
Contoh:
Titik A(3, 4) ditranslasi oleh \(T = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
\(A'(x', y') = (3+2, 4+(-1))\)
\(A'(x', y') = (5, 3)\)
Bayangan: A'(5, 3)
C Refleksi (Pencerminan)
Pengertian Refleksi
Refleksi adalah pencerminan suatu bangun terhadap garis cermin.
Rumus Refleksi pada Berbagai Sumbu:
1. Refleksi terhadap Sumbu X
Titik A(x, y) → A'(x, -y)
Koordinat x tetap, koordinat y berubah tanda
2. Refleksi terhadap Sumbu Y
Titik A(x, y) → A'(-x, y)
Koordinat y tetap, koordinat x berubah tanda
3. Refleksi terhadap Titik O(0,0)
Titik A(x, y) → A'(-x, -y)
Kedua koordinat berubah tanda
4. Refleksi terhadap Garis y = x
Titik A(x, y) → A'(y, x)
Koordinat x dan y saling bertukar
5. Refleksi terhadap Garis y = -x
Titik A(x, y) → A'(-y, -x)
Koordinat bertukar dan berganti tanda
Contoh:
Titik B(4, -3) dicerminkan terhadap sumbu X
B(4, -3) → B'(4, 3)
Bayangan: B'(4, 3)
D Rotasi (Perputaran)
Pengertian Rotasi
Rotasi adalah perputaran suatu bangun terhadap titik pusat dengan sudut tertentu.
📍 Unsur Rotasi:
- • Pusat rotasi - titik sebagai pusat perputaran
- • Sudut rotasi - besar perputaran (θ)
- • Arah rotasi - searah jarum jam (-) atau berlawanan (+)
Rotasi dengan Pusat O(0,0):
Rotasi 90° (berlawanan jarum jam)
A(x, y) → A'(-y, x)
Rotasi 180°
A(x, y) → A'(-x, -y)
Rotasi 270° (atau -90°)
A(x, y) → A'(y, -x)
Contoh:
Titik C(2, 5) dirotasi 90° dengan pusat O(0,0)
C(2, 5) → C'(-5, 2)
Bayangan: C'(-5, 2)
E Dilatasi (Perkalian)
Pengertian Dilatasi
Dilatasi adalah perbesaran atau perkecilan suatu bangun dengan faktor skala tertentu terhadap titik pusat.
📐 Rumus Dilatasi:
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k:
\(A'(x', y') = (kx, ky)\)
Jenis Faktor Skala:
k > 1
Pembesaran
Contoh: k = 2
Ukuran jadi 2× lipat
0 < k < 1
Perkecilan
Contoh: k = 1/2
Ukuran jadi 1/2× lipat
k < 0
Pembesaran + Rotasi 180°
Contoh: k = -2
Membesar 2× + berputar
Sifat-Sifat Dilatasi:
1. Bentuk Tetap, Ukuran Berubah
Bangun tetap sebangun tapi ukuran berbeda
2. Sudut Tetap
Besar sudut tidak berubah
Contoh:
Titik D(3, 4) didilatasi dengan k = 2 dan pusat O(0,0)
\(D'(x', y') = (2 \times 3, 2 \times 4)\)
\(D'(x', y') = (6, 8)\)
Bayangan: D'(6, 8)
F Komposisi Transformasi
Transformasi Berturut-turut
Komposisi transformasi adalah penerapan dua atau lebih transformasi secara berurutan.
📝 Aturan:
Jika titik A ditransformasi oleh T₁ menghasilkan A', kemudian A' ditransformasi oleh T₂ menghasilkan A'', maka komposisi transformasinya ditulis: T₂ ∘ T₁ (dibaca dari kanan)
Contoh Komposisi:
Soal: Titik E(2, 3) ditranslasi \(T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan bayangan akhir!
Langkah 1: Translasi
E(2, 3) + (1, 2) = E'(3, 5)
Langkah 2: Refleksi sumbu X
E'(3, 5) → E''(3, -5)
Bayangan akhir: E''(3, -5)
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik F(-2, 4) jika ditranslasi oleh \(T = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)!
Pembahasan:
\(F'(x', y') = (x+a, y+b)\)
\(F'(x', y') = (-2+3, 4+(-2))\)
\(F'(x', y') = (1, 2)\)
Bayangan: F'(1, 2)
Contoh 2:
Titik G(5, -3) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangannya!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: (x, y) → (y, x)
G(5, -3) → G'(-3, 5)
Bayangan: G'(-3, 5)
H Latihan Soal
1. Titik H(4, -1) ditranslasi oleh \(T = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Tentukan bayangannya!
Lihat Jawaban
\(H'(x', y') = (4+(-2), -1+3)\)
\(H'(x', y') = (2, 2)\)
Bayangan: H'(2, 2)
2. Tentukan bayangan titik I(6, -4) jika dicerminkan terhadap sumbu Y!
Lihat Jawaban
Refleksi sumbu Y: (x, y) → (-x, y)
I(6, -4) → I'(-6, -4)
Bayangan: I'(-6, -4)
3. Titik J(3, 2) dirotasi 90° dengan pusat O(0,0). Tentukan bayangannya!
Lihat Jawaban
Rotasi 90°: (x, y) → (-y, x)
J(3, 2) → J'(-2, 3)
Bayangan: J'(-2, 3)
4. Titik K(2, 4) didilatasi dengan k = 3 dan pusat O(0,0). Tentukan bayangannya!
Lihat Jawaban
\(K'(x', y') = (3 \times 2, 3 \times 4)\)
\(K'(x', y') = (6, 12)\)
Bayangan: K'(6, 12)
5. Titik L(1, 3) dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukan bayangannya!
Lihat Jawaban
Refleksi y = -x: (x, y) → (-y, -x)
L(1, 3) → L'(-3, -1)
Bayangan: L'(-3, -1)
Rangkuman
- • Translasi: (x, y) + (a, b) = (x+a, y+b)
- • Refleksi sumbu X: (x, y) → (x, -y) | sumbu Y: (-x, y)
- • Refleksi y=x: (x, y) → (y, x) | y=-x: (-y, -x)
- • Rotasi 90°: (x, y) → (-y, x) | 180°: (-x, -y) | 270°: (y, -x)
- • Dilatasi k: (x, y) → (kx, ky)
- • k > 1 (besar), 0 < k < 1 (kecil), k < 0 (besar + putar)
Pelajari Materi Matematika Kelas 7 Lainnya:
- 1. Aturan Pencacahan
- 2. Domain, Range, dan Representasi Fungsi
- 3. Hubungan Sudut, Garis, dan Bidang
- 4. Jenis dan Sifat Bilangan Riil
- 5. Operasi Bilangan Riil
- 6. Penyajian Data
- 7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
- 8. Transformasi Geometri sedang dibaca
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.