Info Terkini: Simulasi CBT UTBK SNBT & Ujian Mandiri Gratis di Kampus Impian   Mulai →
Kampus Impian
CBT Tryout

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Iklan

A Pengertian SPLDV

Apa Itu SPLDV?

SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel, biasanya \(x\) dan \(y\).

📌 Bentuk Umum SPLDV:

\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)

dengan \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) adalah bilangan riil

Contoh SPLDV:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

  • • Persamaan (1): \(2x + 3y = 12\)
  • • Persamaan (2): \(x - y = 1\)
  • • Variabel: \(x\) dan \(y\)
  • • Tujuan: Mencari nilai \(x\) dan \(y\) yang memenuhi kedua persamaan

✓ Termasuk SPLDV:

  • • \(x + y = 5\) dan \(x - y = 1\)
  • • \(2a + b = 10\) dan \(a - 3b = 4\)
  • • \(3p + 2q = 15\) dan \(p + q = 6\)

✗ Bukan SPLDV:

  • • \(x^2 + y = 5\) (ada pangkat 2)
  • • \(xy = 6\) (perkalian variabel)
  • • \(x + y + z = 10\) (3 variabel)

B Metode Eliminasi

Cara Kerja Metode Eliminasi

Metode eliminasi bekerja dengan menghilangkan salah satu variabel agar kita bisa mencari nilai variabel yang lain.

💡 Langkah-Langkah:

  1. Samakan koefisien salah satu variabel
  2. Eliminasi (hilangkan) variabel tersebut dengan menjumlah/mengurangi
  3. Cari nilai variabel pertama
  4. Ulangi untuk mencari variabel kedua

Contoh Lengkap:

Selesaikan: \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}\)

Langkah 1: Eliminasi \(y\) untuk mencari \(x\)

Samakan koefisien \(y\): kalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 3

\(2x + 3y = 12\) | ×2 → \(4x + 6y = 24\)

\(3x - 2y = 5\) | ×3 → \(9x - 6y = 15\)

Jumlahkan:

\(13x = 39\)

\(x = 3\)

Langkah 2: Eliminasi \(x\) untuk mencari \(y\)

Samakan koefisien \(x\): kalikan persamaan (1) dengan 3 dan persamaan (2) dengan 2

\(2x + 3y = 12\) | ×3 → \(6x + 9y = 36\)

\(3x - 2y = 5\) | ×2 → \(6x - 4y = 10\)

Kurangkan:

\(13y = 26\)

\(y = 2\)

Jadi, penyelesaiannya: \(x = 3\) dan \(y = 2\)

Himpunan penyelesaian: \(\{(3, 2)\}\)

C Metode Substitusi

Cara Kerja Metode Substitusi

Metode substitusi bekerja dengan mengganti (substitusi) satu variabel dengan persamaan lain.

💡 Langkah-Langkah:

  1. Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain
  2. Substitusikan ke persamaan yang lain
  3. Selesaikan persamaan yang terbentuk
  4. Substitusi balik untuk mencari variabel yang lain

Contoh Lengkap:

Selesaikan: \(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\)

Langkah 1: Nyatakan \(x\) dari persamaan (1)

\(x + 2y = 8\)

\(x = 8 - 2y\)

Langkah 2: Substitusi \(x = 8 - 2y\) ke persamaan (2)

\(3x - y = 5\)

\(3(8 - 2y) - y = 5\)

\(24 - 6y - y = 5\)

\(24 - 7y = 5\)

\(-7y = 5 - 24\)

\(-7y = -19\)

\(y = \frac{19}{7}\) atau sekitar \(2.71\)

Langkah 3: Substitusi balik untuk mencari \(x\)

\(x = 8 - 2y\)

\(x = 8 - 2(\frac{19}{7})\)

\(x = 8 - \frac{38}{7}\)

\(x = \frac{56}{7} - \frac{38}{7}\)

\(x = \frac{18}{7}\) atau sekitar \(2.57\)

Penyelesaian: \(x = \frac{18}{7}\) dan \(y = \frac{19}{7}\)

D Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)

Menggabungkan Dua Metode

Metode campuran menggabungkan eliminasi untuk mencari satu variabel, lalu substitusi untuk mencari variabel lainnya. Ini sering lebih efisien!

Contoh:

Selesaikan: \(\begin{cases} 4x + y = 15 \\ 2x + 3y = 11 \end{cases}\)

Langkah 1: Eliminasi untuk mencari \(x\)

\(4x + y = 15\) | ×3 → \(12x + 3y = 45\)

\(2x + 3y = 11\) | ×1 → \(2x + 3y = 11\)

Kurangkan:

\(10x = 34\)

\(x = 3.4\)

Langkah 2: Substitusi \(x = 3.4\) ke persamaan (1)

\(4x + y = 15\)

\(4(3.4) + y = 15\)

\(13.6 + y = 15\)

\(y = 1.4\)

Jadi: \(x = 3.4\) atau \(\frac{17}{5}\), dan \(y = 1.4\) atau \(\frac{7}{5}\)

💡 Tips Memilih Metode:

  • • Gunakan eliminasi jika koefisiennya mudah disamakan
  • • Gunakan substitusi jika ada koefisien 1 atau sudah dalam bentuk \(x = ...\)
  • • Gunakan campuran untuk efisiensi waktu

E Metode Grafik

Menyelesaikan dengan Grafik

Metode grafik menyelesaikan SPLDV dengan menggambar kedua garis pada bidang koordinat. Titik potong kedua garis adalah solusinya.

Langkah-Langkah:

  1. Ubah kedua persamaan ke bentuk \(y = mx + c\)
  2. Tentukan 2 titik untuk setiap garis
  3. Gambar kedua garis
  4. Titik potong = penyelesaian

Tiga Kemungkinan:

  • • Berpotongan di 1 titik → Ada 1 solusi
  • • Sejajar → Tidak ada solusi
  • • Berimpit → Solusi tak hingga

Contoh: \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

Persamaan 1: \(y = 5 - x\)

Titik: (0, 5) dan (5, 0)

Persamaan 2: \(y = x - 1\)

Titik: (0, -1) dan (1, 0)

Titik potong: (3, 2)

Dapat dicari dengan menggambar atau eliminasi/substitusi

F Aplikasi SPLDV dalam Soal Cerita

Menyelesaikan Soal Cerita dengan SPLDV

📝 Langkah Mengerjakan Soal Cerita:

  1. Tentukan variabel yang dicari (misal: \(x\) dan \(y\))
  2. Buat model matematika (persamaan) dari soal
  3. Selesaikan SPLDV dengan metode yang sesuai
  4. Interpretasikan jawaban sesuai konteks soal

Contoh Soal Cerita:

Soal:

Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp17.000. Harga 4 buku dan 1 pensil adalah Rp22.000. Berapa harga 1 buku dan 1 pensil?

Langkah 1: Misalkan

• Harga 1 buku = \(x\) rupiah

• Harga 1 pensil = \(y\) rupiah

Langkah 2: Model Matematika

\(\begin{cases} 2x + 3y = 17000 \\ 4x + y = 22000 \end{cases}\)

Langkah 3: Eliminasi

\(2x + 3y = 17000\) | ×1 → \(2x + 3y = 17000\)

\(4x + y = 22000\) | ×3 → \(12x + 3y = 66000\)

Kurangkan: \(-10x = -49000\)

\(x = 4900\)

Substitusi: \(4(4900) + y = 22000\)

\(y = 2400\)

Jawaban:

• Harga 1 buku = Rp4.900

• Harga 1 pensil = Rp2.400

Soal:

Jumlah umur ayah dan anak adalah 50 tahun. Selisih umur mereka 26 tahun. Berapa umur ayah dan anak?

Model:

\(\begin{cases} x + y = 50 \\ x - y = 26 \end{cases}\)

\(x\) = umur ayah, \(y\) = umur anak

Eliminasi:

Jumlahkan kedua persamaan:

\(2x = 76\) → \(x = 38\)

\(38 + y = 50\) → \(y = 12\)

Umur ayah = 38 tahun

Umur anak = 12 tahun

G Contoh Soal Tambahan

Contoh: Metode Eliminasi

Tentukan nilai \(x\) dan \(y\) dari: \(\begin{cases} 5x + 2y = 16 \\ 3x + 4y = 14 \end{cases}\)

Pembahasan:

Eliminasi \(y\): kalikan (1) dengan 2 dan (2) dengan 1

\(10x + 4y = 32\)

\(3x + 4y = 14\)

Kurangkan: \(7x = 18\) → \(x = \frac{18}{7}\)

Substitusi ke (2): \(3(\frac{18}{7}) + 4y = 14\)

\(\frac{54}{7} + 4y = 14\) → \(4y = \frac{44}{7}\) → \(y = \frac{11}{7}\)

Jawaban: \(x = \frac{18}{7}\), \(y = \frac{11}{7}\)

H Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}\) dengan metode eliminasi!

Lihat Jawaban

Jumlahkan kedua persamaan:

\(2x = 10\) → \(x = 5\)

\(5 + y = 7\) → \(y = 2\)

HP = \(\{(5, 2)\}\)

2. Dengan metode substitusi, selesaikan: \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}\)

Lihat Jawaban

Substitusi \(y = 2x - 1\) ke persamaan (2):

\(3x + (2x - 1) = 14\)

\(5x = 15\) → \(x = 3\)

\(y = 2(3) - 1 = 5\)

Jawaban: \(x = 3\), \(y = 5\)

3. Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk adalah Rp50.000. Harga 1 kg apel dan 3 kg jeruk adalah Rp35.000. Berapa harga 1 kg apel?

Lihat Jawaban

Misalkan: apel = \(x\), jeruk = \(y\)

\(3x + 2y = 50000\) ... (1)

\(x + 3y = 35000\) ... (2)

Eliminasi: (1)×1 dan (2)×3

\(3x + 2y = 50000\)

\(3x + 9y = 105000\)

→ \(-7y = -55000\) → \(y = 7857\)

\(x = 35000 - 3(7857) = 11429\)

Harga 1 kg apel ≈ Rp11.429

4. Tentukan nilai \(2x + y\) jika \(\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 5 \end{cases}\)

Lihat Jawaban

Jumlahkan kedua persamaan:

\(3x = 9\) → \(x = 3\)

\(3 + y = 5\) → \(y = 2\)

\(2x + y = 2(3) + 2 = 8\)

Jawaban: 8

5. Selisih dua bilangan adalah 10. Jika bilangan pertama dikurangi 2 kali bilangan kedua hasilnya 5. Tentukan kedua bilangan tersebut!

Lihat Jawaban

Misalkan: bilangan pertama = \(x\), kedua = \(y\)

\(x - y = 10\) ... (1)

\(x - 2y = 5\) ... (2)

Kurangkan (1) - (2):

\(y = 5\)

\(x = 10 + 5 = 15\)

Bilangan pertama = 15, kedua = 5

Rangkuman

  • • SPLDV adalah sistem 2 persamaan linear dengan 2 variabel
  • • Ada 3 metode: Eliminasi, Substitusi, Grafik
  • • Eliminasi: Hilangkan satu variabel dengan menjumlah/mengurangi
  • • Substitusi: Ganti satu variabel dengan persamaan lain
  • • Metode campuran sering paling efisien
  • • Soal cerita: Buat model matematika terlebih dahulu
Iklan
Bagikan materi ini:

Pelajari Materi Matematika Kelas 7 Lainnya:

  1. 1. Aturan Pencacahan
  2. 2. Domain, Range, dan Representasi Fungsi
  3. 3. Hubungan Sudut, Garis, dan Bidang
  4. 4. Jenis dan Sifat Bilangan Riil
  5. 5. Operasi Bilangan Riil
  6. 6. Penyajian Data
  7. 7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel sedang dibaca
  8. 8. Transformasi Geometri
Lihat Semua Materi →
Uji Pemahaman Materi

Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!

Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.

Mulai Latihan Soal →