Barisan dan Deret Aritmetika
A Pengertian Barisan Aritmetika
Apa Itu Barisan Aritmetika?
Barisan aritmetika adalah urutan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku yang berurutan.
📌 Definisi:
Barisan bilangan \(U_1, U_2, U_3, ..., U_n\) disebut barisan aritmetika jika selisih antara dua suku berurutan selalu sama (tetap).
Contoh Barisan Aritmetika:
Contoh 1: 2, 5, 8, 11, 14, ...
Selisih: \(5 - 2 = 3\), \(8 - 5 = 3\), \(11 - 8 = 3\)
✓ Ini barisan aritmetika dengan beda = 3
Contoh 2: 20, 15, 10, 5, 0, ...
Selisih: \(15 - 20 = -5\), \(10 - 15 = -5\), \(5 - 10 = -5\)
✓ Ini barisan aritmetika dengan beda = -5
Bukan Barisan Aritmetika: 1, 2, 4, 8, 16, ...
Selisih: \(2 - 1 = 1\), \(4 - 2 = 2\), \(8 - 4 = 4\)
✗ Selisih tidak tetap (ini barisan geometri)
Notasi Barisan:
- • \(U_1\) = suku pertama (biasa dilambangkan \(a\))
- • \(U_2\) = suku kedua
- • \(U_3\) = suku ketiga
- • \(U_n\) = suku ke-n
- • \(b\) = beda (selisih)
B Beda (Selisih)
Menentukan Beda
Beda dilambangkan dengan \(b\) adalah selisih antara dua suku yang berurutan.
📐 Rumus Beda:
\(b = U_n - U_{n-1}\)
Atau: \(b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_4 - U_3\), dst.
Jenis Beda:
Beda Positif (\(b \gt 0\))
Barisan naik/meningkat
Contoh:
3, 7, 11, 15, ...
b = 4
Beda Negatif (\(b \lt 0\))
Barisan turun/menurun
Contoh:
50, 45, 40, 35, ...
b = -5
Beda Nol (\(b = 0\))
Barisan konstan
Contoh:
5, 5, 5, 5, ...
b = 0
C Rumus Suku ke-n
Mencari Suku ke-n (\(U_n\))
📐 Rumus Utama:
\(U_n = a + (n-1)b\)
dengan:
• \(U_n\) = suku ke-n
• \(a\) = suku pertama (\(U_1\))
• \(n\) = nomor suku
• \(b\) = beda
Penurunan Rumus:
\(U_1 = a\)
\(U_2 = a + b = a + (2-1)b\)
\(U_3 = a + 2b = a + (3-1)b\)
\(U_4 = a + 3b = a + (4-1)b\)
\(U_n = a + (n-1)b\)
Contoh Penggunaan:
Tentukan suku ke-10 dari barisan: 3, 7, 11, 15, ...
Diketahui:
\(a = 3\), \(b = 4\), \(n = 10\)
Penyelesaian:
\(U_{10} = a + (n-1)b\)
\(U_{10} = 3 + (10-1) \times 4\)
\(U_{10} = 3 + 9 \times 4\)
\(U_{10} = 3 + 36\)
\(U_{10} = 39\)
D Deret Aritmetika
Pengertian Deret
Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.
Barisan Aritmetika
Urutan bilangan dengan selisih tetap
3, 7, 11, 15, 19
Deret Aritmetika
Penjumlahan suku-suku barisan
3 + 7 + 11 + 15 + 19
Notasi Deret:
\(S_n = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n\)
\(S_n\) = jumlah n suku pertama
E Rumus Jumlah n Suku Pertama
Mencari \(S_n\)
Ada 2 rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama:
Rumus 1: Jika diketahui suku pertama dan beda
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]\)
• \(n\) = banyak suku
• \(a\) = suku pertama
• \(b\) = beda
Rumus 2: Jika diketahui suku pertama dan terakhir
\(S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)\)
• \(n\) = banyak suku
• \(a\) = suku pertama
• \(U_n\) = suku ke-n (terakhir)
💡 Kapan Pakai Rumus Mana?
- • Gunakan Rumus 1 jika tahu \(a\) dan \(b\)
- • Gunakan Rumus 2 jika tahu \(a\) dan \(U_n\)
Contoh:
Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari barisan: 2, 5, 8, 11, ...
Diketahui:
\(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 10\)
Menggunakan Rumus 1:
\(S_{10} = \frac{10}{2}[2(2) + (10-1)(3)]\)
\(S_{10} = 5[4 + 9 \times 3]\)
\(S_{10} = 5[4 + 27]\)
\(S_{10} = 5 \times 31\)
\(S_{10} = 155\)
F Suku Tengah Barisan Aritmetika
Menentukan Suku Tengah
Suku tengah adalah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika.
📐 Rumus Suku Tengah:
\(U_t = \frac{a + U_n}{2}\)
atau
\(U_t = \frac{U_1 + U_n}{2}\)
Jika n Ganjil:
Ada satu suku tengah
Contoh (n = 5):
2, 5, 8, 11, 14
Suku tengah = 8
Jika n Genap:
Ada dua suku tengah
Contoh (n = 6):
2, 5, 8, 11, 14, 17
Suku tengah = 8 dan 11
Contoh:
Tentukan suku tengah dari barisan: 3, 7, 11, 15, 19
\(a = 3\), \(U_n = U_5 = 19\)
\(U_t = \frac{3 + 19}{2} = \frac{22}{2}\)
\(U_t = 11\)
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke-9 adalah 33. Tentukan suku pertama dan beda!
Pembahasan:
\(U_5 = 17\) → \(a + 4b = 17\) ... (1)
\(U_9 = 33\) → \(a + 8b = 33\) ... (2)
Eliminasi (2) - (1):
\(4b = 16\) → \(b = 4\)
Substitusi ke (1): \(a + 4(4) = 17\) → \(a = 1\)
Jawaban: \(a = 1\), \(b = 4\)
Contoh 2:
Diketahui barisan aritmetika dengan \(a = 5\) dan \(b = 3\). Hitunglah \(S_{12}\)!
Pembahasan:
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]\)
\(S_{12} = \frac{12}{2}[2(5) + (12-1)(3)]\)
\(S_{12} = 6[10 + 33]\)
\(S_{12} = 6 \times 43\)
\(S_{12} = 258\)
H Latihan Soal
1. Tentukan suku ke-15 dari barisan: 4, 7, 10, 13, ...
Lihat Jawaban
\(a = 4\), \(b = 3\), \(n = 15\)
\(U_{15} = 4 + (15-1) \times 3\)
\(U_{15} = 4 + 14 \times 3 = 4 + 42\)
\(U_{15} = 46\)
2. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 8 dan beda -2. Tentukan suku ke-10!
Lihat Jawaban
\(a = 8\), \(b = -2\), \(n = 10\)
\(U_{10} = 8 + (10-1) \times (-2)\)
\(U_{10} = 8 + 9 \times (-2) = 8 - 18\)
\(U_{10} = -10\)
3. Hitunglah jumlah 8 suku pertama dari barisan: 3, 6, 9, 12, ...
Lihat Jawaban
\(a = 3\), \(b = 3\), \(n = 8\)
\(S_8 = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)(3)]\)
\(S_8 = 4[6 + 21] = 4 \times 27\)
\(S_8 = 108\)
4. Tentukan beda dari barisan aritmetika jika \(U_3 = 11\) dan \(U_7 = 23\)!
Lihat Jawaban
\(U_7 - U_3 = 4b\)
\(23 - 11 = 4b\)
\(12 = 4b\)
\(b = 3\)
5. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika adalah \(S_n = 2n^2 + 3n\). Tentukan suku ke-5!
Lihat Jawaban
\(U_5 = S_5 - S_4\)
\(S_5 = 2(5)^2 + 3(5) = 50 + 15 = 65\)
\(S_4 = 2(4)^2 + 3(4) = 32 + 12 = 44\)
\(U_5 = 65 - 44\)
\(U_5 = 21\)
Rangkuman
- • Barisan aritmetika = urutan bilangan dengan selisih tetap
- • Beda (b) = selisih antara dua suku berurutan
- • Rumus suku ke-n: \(U_n = a + (n-1)b\)
- • Deret aritmetika = penjumlahan suku-suku barisan
- • Rumus jumlah: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]\) atau \(S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)\)
- • Suku tengah: \(U_t = \frac{a + U_n}{2}\)
Pelajari Materi Matematika Kelas 8 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Aritmetika sedang dibaca
- 2. Fungsi Komposisi
- 3. Invers Fungsi
- 4. Keliling dan Luas Bangun Datar
- 5. Peluang Kejadian Majemuk
- 6. Perbandingan Trigonometri
- 7. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
- 8. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.