Fungsi Komposisi
A Pengertian Fungsi Komposisi
Apa Itu Komposisi Fungsi?
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih yang dilakukan secara berurutan, dimana hasil fungsi pertama menjadi input untuk fungsi kedua.
📌 Definisi:
Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi, maka komposisi fungsi \(f\) dan \(g\) ditulis \((f \circ g)(x)\) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai \(f(g(x))\).
Ilustrasi Proses:
Input
x
Fungsi \(g\)
g(x)
Fungsi \(f\)
f(g(x))
Output
(f∘g)(x)
Contoh Sederhana:
Misal: \(f(x) = 2x\) dan \(g(x) = x + 3\)
\((f \circ g)(5)\)
1. Hitung \(g(5)\): \(5 + 3 = 8\)
2. Hitung \(f(8)\): \(2(8) = 16\)
Hasil: 16
\((g \circ f)(5)\)
1. Hitung \(f(5)\): \(2(5) = 10\)
2. Hitung \(g(10)\): \(10 + 3 = 13\)
Hasil: 13
B Notasi dan Pembacaan
Cara Menulis dan Membaca
Notasi 1: \((f \circ g)(x)\)
- • Ditulis: \((f \circ g)(x)\) atau \(f \circ g\)
- • Dibaca: "ef bundaran ge" atau "komposisi f dengan g"
- • Artinya: \(f(g(x))\) - fungsi \(g\) dikerjakan dulu, hasilnya dimasukkan ke \(f\)
Notasi 2: \((g \circ f)(x)\)
- • Ditulis: \((g \circ f)(x)\) atau \(g \circ f\)
- • Dibaca: "ge bundaran ef" atau "komposisi g dengan f"
- • Artinya: \(g(f(x))\) - fungsi \(f\) dikerjakan dulu, hasilnya dimasukkan ke \(g\)
Notasi 3: \((f \circ g \circ h)(x)\)
- • Untuk tiga fungsi: \(f(g(h(x)))\)
- • Urutan: Kerjakan dari kanan ke kiri
- • Langkah: \(h(x)\) → \(g(h(x))\) → \(f(g(h(x)))\)
⚠️ Penting!
\((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\)
Urutan komposisi sangat penting! Hasilnya bisa berbeda.
C Cara Menentukan Fungsi Komposisi
Langkah-Langkah Mencari \((f \circ g)(x)\)
📍 Langkah Sistematis:
- Tulis \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
- Cari rumus \(g(x)\)
- Substitusi \(g(x)\) ke dalam fungsi \(f\)
- Sederhanakan hasilnya
Contoh Lengkap:
Contoh: Diketahui \(f(x) = 2x + 1\) dan \(g(x) = x^2\). Tentukan \((f \circ g)(x)\)!
Langkah 1: Tulis definisi
\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Langkah 2: Identifikasi \(g(x)\)
\(g(x) = x^2\)
Langkah 3: Substitusi ke \(f\)
\(f(g(x)) = f(x^2)\)
\(= 2(x^2) + 1\)
\(= 2x^2 + 1\)
Hasil Akhir:
\((f \circ g)(x) = 2x^2 + 1\)
Bandingkan: Tentukan \((g \circ f)(x)\)!
Langkah: Substitusi \(f(x)\) ke \(g\)
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1)\)
\(= (2x + 1)^2\)
\(= 4x^2 + 4x + 1\)
Hasil:
\((g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x + 1\)
💡 Perhatikan:
\((f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \neq 4x^2 + 4x + 1 = (g \circ f)(x)\)
Urutan berbeda → hasil berbeda!
D Memahami Urutan Komposisi
Aturan Membaca Urutan
📌 Aturan Emas:
Fungsi dikerjakan dari KANAN ke KIRI, seperti membaca dari dalam kurung ke luar.
\((f \circ g)(x)\)
Kerjakan \(g\) terlebih dahulu
Fungsi yang ada di kanan
Masukkan hasil ke \(f\)
Fungsi yang ada di kiri
\((f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))\)
Hitung \(h(x)\)
Masukkan ke \(g\): \(g(h(x))\)
Masukkan ke \(f\): \(f(g(h(x)))\)
E Sifat-Sifat Fungsi Komposisi
Berikut adalah sifat-sifat penting komposisi fungsi:
Tidak Komutatif
\((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\)
Urutan tidak bisa dibalik
Asosiatif
\((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\)
Pengelompokan tidak mempengaruhi hasil
Identitas
\((f \circ I)(x) = f(x)\)
\((I \circ f)(x) = f(x)\)
dengan \(I(x) = x\) (fungsi identitas)
Komposisi dengan Invers
\((f \circ f^{-1})(x) = x\)
\((f^{-1} \circ f)(x) = x\)
Fungsi dengan inversnya = fungsi identitas
F Menentukan Nilai Fungsi Komposisi
Mencari \((f \circ g)(a)\)
Ada dua cara mencari nilai komposisi:
Cara 1: Substitusi Langsung
- Hitung \(g(a)\) terlebih dahulu
- Substitusi hasil ke \(f\)
- Hitung nilai akhir
Cara 2: Rumus Dulu
- Tentukan \((f \circ g)(x)\)
- Sederhanakan rumusnya
- Substitusi \(x = a\)
Contoh:
Diketahui \(f(x) = 3x - 2\) dan \(g(x) = x + 5\). Tentukan \((f \circ g)(4)\)!
Cara 1:
\(g(4) = 4 + 5 = 9\)
\(f(9) = 3(9) - 2\)
\(= 27 - 2\)
\(= 25\)
Cara 2:
\((f \circ g)(x) = 3(x+5) - 2\)
\(= 3x + 15 - 2 = 3x + 13\)
\((f \circ g)(4) = 3(4) + 13\)
\(= 25\)
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Diketahui \(f(x) = x + 4\) dan \(g(x) = 2x - 1\). Tentukan \((f \circ g)(x)\) dan \((g \circ f)(x)\)!
Pembahasan:
\((f \circ g)(x)\):
\(= f(g(x)) = f(2x - 1)\)
\(= (2x - 1) + 4\)
\(= 2x + 3\)
\((g \circ f)(x)\):
\(= g(f(x)) = g(x + 4)\)
\(= 2(x + 4) - 1\)
\(= 2x + 8 - 1\)
\(= 2x + 7\)
Contoh 2:
Jika \(f(x) = x^2\) dan \(g(x) = 3x + 2\), tentukan nilai \((f \circ g)(2)\)!
Pembahasan:
\(g(2) = 3(2) + 2 = 8\)
\(f(8) = (8)^2 = 64\)
\((f \circ g)(2) = 64\)
H Latihan Soal
1. Diketahui \(f(x) = 2x + 3\) dan \(g(x) = x - 1\). Tentukan \((f \circ g)(x)\)!
Lihat Jawaban
\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1)\)
\(= 2(x - 1) + 3\)
\(= 2x - 2 + 3\)
\((f \circ g)(x) = 2x + 1\)
2. Jika \(f(x) = x^2 - 2\) dan \(g(x) = 3x\), tentukan \((g \circ f)(x)\)!
Lihat Jawaban
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 - 2)\)
\(= 3(x^2 - 2)\)
\((g \circ f)(x) = 3x^2 - 6\)
3. Diketahui \(f(x) = 5x - 2\) dan \(g(x) = x + 4\). Hitung nilai \((f \circ g)(3)\)!
Lihat Jawaban
\(g(3) = 3 + 4 = 7\)
\(f(7) = 5(7) - 2 = 35 - 2 = 33\)
\((f \circ g)(3) = 33\)
4. Jika \(f(x) = x - 5\), \(g(x) = 2x\), dan \(h(x) = x^2\), tentukan \((f \circ g \circ h)(x)\)!
Lihat Jawaban
\((f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))\)
\(= f(g(x^2))\)
\(= f(2x^2)\)
\(= 2x^2 - 5\)
\((f \circ g \circ h)(x) = 2x^2 - 5\)
5. Diketahui \(f(x) = 3x + 1\) dan \((f \circ g)(x) = 6x - 5\). Tentukan \(g(x)\)!
Lihat Jawaban
\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3 \cdot g(x) + 1\)
\(6x - 5 = 3 \cdot g(x) + 1\)
\(3 \cdot g(x) = 6x - 6\)
\(g(x) = 2x - 2\)
\(g(x) = 2x - 2\)
Rangkuman
- • Komposisi fungsi = penggabungan dua fungsi atau lebih
- • \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) → kerjakan \(g\) dulu, lalu \(f\)
- • Urutan dibaca dari kanan ke kiri
- • \((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\) → tidak komutatif
- • Bersifat asosiatif: pengel ompokan tidak mengubah hasil
- • Untuk mencari nilai: substitusi berurutan atau cari rumus dulu
Pelajari Materi Matematika Kelas 8 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Aritmetika
- 2. Fungsi Komposisi sedang dibaca
- 3. Invers Fungsi
- 4. Keliling dan Luas Bangun Datar
- 5. Peluang Kejadian Majemuk
- 6. Perbandingan Trigonometri
- 7. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
- 8. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.