Perbandingan Trigonometri
A Pengertian Trigonometri
Apa Itu Trigonometri?
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani: trigonon (segitiga) dan metron (pengukuran). Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga, khususnya segitiga siku-siku.
📐 Fokus Utama:
Di tingkat SMP, trigonometri fokus pada perbandingan sisi-sisi dalam segitiga siku-siku dan hubungannya dengan sudut.
Mengapa Penting?
Navigasi & Pemetaan
Menentukan jarak dan arah
Arsitektur & Konstruksi
Menghitung ketinggian bangunan
Astronomi
Mengukur jarak benda langit
Fisika & Teknik
Analisis gaya dan gerakan
B Perbandingan Trigonometri: Sin, Cos, Tan
Tiga Perbandingan Dasar
Segitiga Siku-Siku ABC:
Misalkan sudut yang ditinjau adalah α (alpha)
- • Sisi depan (de): sisi di depan sudut α
- • Sisi samping (sa): sisi di samping sudut α (bukan miring)
- • Sisi miring (mi): sisi terpanjang (hipotenusa)
Sinus (sin)
Perbandingan antara sisi depan dengan sisi miring
\(\sin \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{miring}}\)
atau
\(\sin \alpha = \frac{de}{mi}\)
Cosinus (cos)
Perbandingan antara sisi samping dengan sisi miring
\(\cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}\)
atau
\(\cos \alpha = \frac{sa}{mi}\)
Tangen (tan)
Perbandingan antara sisi depan dengan sisi samping
\(\tan \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{samping}}\)
atau
\(\tan \alpha = \frac{de}{sa}\)
💡 Cara Mudah Menghapal:
De Mi Sa Mi De Sa
sin = De/Mi, cos = Sa/Mi, tan = De/Sa
C Sudut Istimewa
Nilai Trigonometri Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah sudut-sudut tertentu yang nilai trigonometrinya mudah diingat: 30°, 45°, 60°
| Sudut (α) | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) | \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\) |
| 45° | \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) | \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) | 1 |
| 60° | \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 90° | 1 | 0 | ∞ (tak terdefinisi) |
📝 Cara Menghapal Mudah:
Sin: \(\frac{1}{2}\sqrt{0}\), \(\frac{1}{2}\sqrt{1}\), \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\), \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\), \(\frac{1}{2}\sqrt{4}\)
Cos: kebalikan sin (dari \(\frac{1}{2}\sqrt{4}\) ke \(\frac{1}{2}\sqrt{0}\))
Tan: = \(\frac{\sin}{\cos}\)
D Identitas Trigonometri
Hubungan Antar Perbandingan
1. Hubungan Tan dengan Sin dan Cos
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
2. Identitas Pythagoras
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
Dari teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku
3. Sudut Komplemen
\(\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha\)
\(\cos(90° - \alpha) = \sin \alpha\)
Sudut yang jumlahnya 90°
E Penerapan Trigonometri
Aplikasi dalam Soal
1. Mencari Panjang Sisi
Jika diketahui satu sudut dan satu sisi, kita bisa mencari sisi lainnya
Contoh: Diketahui sudut 30° dan sisi miring 10 cm, cari sisi depan
sin 30° = depan/miring → ½ = depan/10 → depan = 5 cm
2. Mencari Besar Sudut
Jika diketahui dua sisi, kita bisa mencari sudut menggunakan perbandingan trig
Contoh: Depan = 3 cm, samping = 3 cm
tan α = 3/3 = 1 → α = 45°
3. Mengukur Ketinggian
Menghitung tinggi pohon, gedung, atau benda tinggi lainnya
Dengan sudut elevasi dan jarak, bisa dihitung tinggi objek
tan(sudut) = tinggi/jarak
4. Jarak Mendatar
Menghitung jarak horizontal dari sudut depresi/elevasi
F Perbandingan Kebalikan
Cosecan, Secan, Cotangen
Cosecan (cosec)
\(\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}\)
= miring/depan
Secan (sec)
\(\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}\)
= miring/samping
Cotangen (cot)
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\)
= samping/depan
Catatan: Perbandingan kebalikan ini lebih jarang digunakan di tingkat SMP, fokus utama tetap pada sin, cos, dan tan.
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Dalam segitiga siku-siku ABC, sudut A = 30°, sisi miring (AC) = 20 cm. Tentukan panjang sisi BC (depan sudut A)!
Pembahasan:
Gunakan: \(\sin A = \frac{BC}{AC}\)
\(\sin 30° = \frac{BC}{20}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{BC}{20}\)
\(BC = 20 \times \frac{1}{2} = 10\) cm
Panjang BC = 10 cm
Contoh 2:
Segitiga siku-siku memiliki sisi depan 6 cm dan sisi samping 6 cm. Tentukan besar sudutnya!
Pembahasan:
\(\tan \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{6}{6} = 1\)
Dari tabel sudut istimewa: tan 45° = 1
Besar sudut = 45°
H Latihan Soal
1. Berapa nilai sin 60°?
Lihat Jawaban
Dari tabel sudut istimewa:
sin 60° = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
2. Jika cos α = ½, berapakah nilai α (sudut istimewa)?
Lihat Jawaban
Dari tabel: cos 60° = ½
α = 60°
3. Segitiga siku-siku memiliki sudut 45° dan sisi miring 10√2 cm. Tentukan panjang sisi depan!
Lihat Jawaban
sin 45° = depan/miring
½√2 = depan/(10√2)
depan = ½√2 × 10√2 = 10 cm
Panjang sisi depan = 10 cm
4. Jika sin²α + cos²α = 1 dan sin α = 0,6, berapakah cos α?
Lihat Jawaban
(0,6)² + cos²α = 1
0,36 + cos²α = 1
cos²α = 0,64
cos α = 0,8
cos α = 0,8
5. Hitunglah nilai dari: sin 30° × cos 60° + tan 45°
Lihat Jawaban
= ½ × ½ + 1
= ¼ + 1
= 1¼ atau 1,25
Rangkuman
- • sin α = depan/miring | cos α = samping/miring | tan α = depan/samping
- • Sudut istimewa: 30°, 45°, 60° - hapal nilainya!
- • sin²α + cos²α = 1 (Identitas Pythagoras)
- • tan α = sin α / cos α
- • sin(90° - α) = cos α dan cos(90° - α) = sin α
- • Gunakan "De Mi Sa Mi De Sa" untuk menghapal
Pelajari Materi Matematika Kelas 8 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Aritmetika
- 2. Fungsi Komposisi
- 3. Invers Fungsi
- 4. Keliling dan Luas Bangun Datar
- 5. Peluang Kejadian Majemuk
- 6. Perbandingan Trigonometri sedang dibaca
- 7. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
- 8. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.