Invers Fungsi
A Pengertian Invers Fungsi
Apa Itu Invers Fungsi?
Invers fungsi atau fungsi kebalikan adalah fungsi yang "membalik" hasil fungsi asal sehingga kembali ke nilai semula.
📌 Definisi:
Jika fungsi \(f\) memetakan \(x\) ke \(y\), maka invers fungsi \(f^{-1}\) memetakan \(y\) kembali ke \(x\).
Ilustrasi Sederhana:
Fungsi Asal
Proses: tambah 5
\(f(x) = x + 5\)
\(f(3) = 8\)
Fungsi Invers
Proses: kurang 5
\(f^{-1}(y) = y - 5\)
\(f^{-1}(8) = 3\)
💡 Konsep Penting:
Fungsi invers mengembalikan output ke input semula. Jika \(f(a) = b\), maka \(f^{-1}(b) = a\).
B Notasi Invers Fungsi
Cara Menulis Invers
Notasi Standar:
\(f^{-1}(x)\)
Dibaca: "ef invers dari eks" atau "invers fungsi ef"
⚠️ Perhatian!
\(f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}\)
Pangkat \(-1\) pada fungsi BUKAN berarti pembagian atau pecahan!
\(f^{-1}\) adalah notasi khusus untuk invers fungsi.
Contoh Penulisan:
Fungsi:
\(f(x) = 2x + 3\)
Inversnya:
\(f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}\)
C Syarat Fungsi Memiliki Invers
Kapan Fungsi Punya Invers?
📋 Syarat Utama:
Fungsi memiliki invers jika dan hanya jika fungsi tersebut adalah fungsi bijektif (satu-satu dan onto).
Fungsi Satu-Satu (Injektif)
Setiap anggota range dipasangkan dengan tepat satu anggota domain.
Artinya:
Jika \(f(a) = f(b)\), maka \(a = b\)
Tidak boleh ada dua input berbeda yang menghasilkan output sama
Fungsi Onto (Surjektif)
Setiap anggota kodomain terpasang dengan anggota domain.
Artinya:
Range = Kodomain
Semua anggota kodomain digunakan
✓ Punya Invers:
- • \(f(x) = 2x + 3\)
- • \(f(x) = 5 - x\)
- • \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\)
Fungsi linear (satu-satu dan onto)
✗ Tidak Punya Invers:
- • \(f(x) = x^2\) (tidak satu-satu)
- • \(f(x) = |x|\) (tidak satu-satu)
- • Fungsi konstan
Dua input berbeda bisa punya output sama
D Cara Mencari Fungsi Invers
Langkah-Langkah Menentukan \(f^{-1}(x)\)
📍 Langkah Sistematis:
- Ubah \(f(x)\) menjadi \(y\)
- Tukar posisi \(x\) dan \(y\)
- Selesaikan untuk \(y\)
- Ganti \(y\) dengan \(f^{-1}(x)\)
Contoh Lengkap:
Contoh 1: Tentukan invers dari \(f(x) = 3x - 5\)
Langkah 1: Ubah \(f(x)\) menjadi \(y\)
\(y = 3x - 5\)
Langkah 2: Tukar \(x\) dan \(y\)
\(x = 3y - 5\)
Langkah 3: Selesaikan untuk \(y\)
\(x = 3y - 5\)
\(x + 5 = 3y\)
\(y = \frac{x + 5}{3}\)
Langkah 4: Hasil Akhir
\(f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}\)
Contoh 2: Tentukan invers dari \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}\)
Langkah 1 & 2: Tulis \(y\) dan tukar
\(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\) → \(x = \frac{2y + 1}{y - 3}\)
Langkah 3: Selesaikan untuk \(y\)
\(x(y - 3) = 2y + 1\)
\(xy - 3x = 2y + 1\)
\(xy - 2y = 3x + 1\)
\(y(x - 2) = 3x + 1\)
\(y = \frac{3x + 1}{x - 2}\)
Hasil Akhir:
\(f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}\)
E Sifat-Sifat Invers Fungsi
Berikut adalah sifat-sifat penting dari invers fungsi:
Sifat Identitas
\(f(f^{-1}(x)) = x\)
\(f^{-1}(f(x)) = x\)
Fungsi dan inversnya saling mengembalikan nilai asal
Invers dari Invers
\((f^{-1})^{-1} = f\)
Invers dari fungsi invers = fungsi semula
Domain dan Range
Domain \(f^{-1}\) = Range \(f\)
Range \(f^{-1}\) = Domain \(f\)
Domain dan range saling bertukar
Invers Perkalian Fungsi
\((f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}\)
Urutan dibalik saat mencari invers komposisi
💡 Verifikasi:
Untuk membuktikan \(f^{-1}\) benar, cek apakah \(f(f^{-1}(x)) = x\) dan \(f^{-1}(f(x)) = x\)
F Grafik Fungsi dan Inversnya
Hubungan Grafik \(f\) dan \(f^{-1}\)
📊 Sifat Grafik:
Grafik fungsi \(f^{-1}\) adalah pencerminan grafik fungsi \(f\) terhadap garis \(y = x\).
Titik pada \(f(x)\):
Jika titik \((a, b)\) ada di grafik \(f\)
Contoh: \((2, 5)\)
Titik pada \(f^{-1}(x)\):
Maka titik \((b, a)\) ada di grafik \(f^{-1}\)
Contoh: \((5, 2)\)
Cara Menggambar Grafik \(f^{-1}\):
- Gambar grafik fungsi \(f(x)\)
- Gambar garis \(y = x\) (garis pencerminan)
- Cerminkan setiap titik pada \(f\) terhadap garis \(y = x\)
- Hubungkan titik-titik cerminan
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Tentukan invers dari \(f(x) = 4x - 7\)
Pembahasan:
\(y = 4x - 7\)
\(x = 4y - 7\) (tukar \(x\) dan \(y\))
\(x + 7 = 4y\)
\(y = \frac{x + 7}{4}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{4}\)
Contoh 2:
Jika \(f(x) = 2x + 5\), tunjukkan bahwa \(f(f^{-1}(x)) = x\)
Pembahasan:
Mencari \(f^{-1}(x)\) terlebih dahulu:
\(y = 2x + 5\) → \(x = 2y + 5\) → \(y = \frac{x-5}{2}\)
Jadi \(f^{-1}(x) = \frac{x-5}{2}\)
Verifikasi:
\(f(f^{-1}(x)) = f(\frac{x-5}{2})\)
\(= 2(\frac{x-5}{2}) + 5\)
\(= (x - 5) + 5\)
\(= x\) ✓ (terbukti)
H Latihan Soal
1. Tentukan invers dari \(f(x) = 5x + 10\)
Lihat Jawaban
\(y = 5x + 10\)
\(x = 5y + 10\)
\(x - 10 = 5y\)
\(y = \frac{x - 10}{5}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x - 10}{5}\)
2. Diketahui \(g(x) = \frac{x + 2}{3}\). Tentukan \(g^{-1}(x)\)!
Lihat Jawaban
\(y = \frac{x + 2}{3}\)
\(x = \frac{y + 2}{3}\)
\(3x = y + 2\)
\(y = 3x - 2\)
\(g^{-1}(x) = 3x - 2\)
3. Jika \(h(x) = 3x - 4\), tentukan nilai \(h^{-1}(5)\)!
Lihat Jawaban
Cari \(h^{-1}(x)\) dulu:
\(y = 3x - 4\) → \(x = 3y - 4\) → \(y = \frac{x+4}{3}\)
\(h^{-1}(x) = \frac{x+4}{3}\)
\(h^{-1}(5) = \frac{5+4}{3} = \frac{9}{3}\)
\(h^{-1}(5) = 3\)
4. Tentukan invers dari \(f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}\)
Lihat Jawaban
\(y = \frac{2x - 1}{x + 3}\) → \(x = \frac{2y - 1}{y + 3}\)
\(x(y + 3) = 2y - 1\)
\(xy + 3x = 2y - 1\)
\(xy - 2y = -3x - 1\)
\(y(x - 2) = -3x - 1\)
\(y = \frac{-3x - 1}{x - 2}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{-3x - 1}{x - 2}\)
5. Diketahui \(f(x) = 2x + 3\). Buktikan bahwa \(f^{-1}(f(x)) = x\)!
Lihat Jawaban
Cari \(f^{-1}(x)\):
\(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\)
Substitusi \(f(x)\) ke \(f^{-1}\):
\(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 3)\)
\(= \frac{(2x + 3) - 3}{2}\)
\(= \frac{2x}{2}\)
\(= x\) ✓ (terbukti)
Rangkuman
- • Invers fungsi membalik fungsi asal: \(f(a) = b\) → \(f^{-1}(b) = a\)
- • Notasi: \(f^{-1}(x)\) bukan \(\frac{1}{f(x)}\)
- • Syarat: Fungsi harus bijektif (satu-satu dan onto)
- • Cara mencari: Tukar \(x\) dan \(y\), lalu selesaikan untuk \(y\)
- • Sifat: \(f(f^{-1}(x)) = x\) dan \(f^{-1}(f(x)) = x\)
- • Grafik \(f^{-1}\) adalah pencerminan grafik \(f\) terhadap \(y = x\)
Pelajari Materi Matematika Kelas 8 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Aritmetika
- 2. Fungsi Komposisi
- 3. Invers Fungsi sedang dibaca
- 4. Keliling dan Luas Bangun Datar
- 5. Peluang Kejadian Majemuk
- 6. Perbandingan Trigonometri
- 7. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
- 8. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.