Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
A Pengertian Pertidaksamaan Linear
Apa Itu Pertidaksamaan?
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang menyatakan hubungan "tidak sama dengan" antara dua nilai atau ekspresi.
Persamaan
Menggunakan tanda =
Contoh: \(x + 2 = 5\)
Solusi: \(x = 3\) (tepat satu nilai)
Pertidaksamaan
Menggunakan tanda \(\lt, \gt, \leq, \geq\)
Contoh: \(x + 2 \lt 5\)
Solusi: \(x \lt 3\) (banyak nilai)
📌 Definisi:
Pertidaksamaan Linear adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu (linear) dan menggunakan tanda \(\lt\), \(\gt\), \(\leq\), atau \(\geq\).
B Tanda-Tanda Pertidaksamaan
Ada 4 tanda pertidaksamaan yang perlu kamu pahami:
Lebih Kecil
Less than
\(a \lt b\) artinya "\(a\) lebih kecil dari \(b\)"
Contoh: \(3 \lt 5\), \(x \lt 10\)
Lebih Besar
Greater than
\(a \gt b\) artinya "\(a\) lebih besar dari \(b\)"
Contoh: \(5 \gt 3\), \(x \gt 2\)
Lebih Kecil atau Sama Dengan
Less than or equal to
\(a \leq b\) artinya "\(a\) ≤ \(b\)"
Contoh: \(3 \leq 5\), \(x \leq 10\)
Lebih Besar atau Sama Dengan
Greater than or equal to
\(a \geq b\) artinya "\(a\) ≥ \(b\)"
Contoh: \(5 \geq 3\), \(x \geq 2\)
C Menyelesaikan Pertidaksamaan Satu Variabel
Aturan Menyelesaikan Pertidaksamaan
Operasi yang TIDAK Mengubah Tanda:
- • Menjumlahkan atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan sama
- • Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif
⚠️ Operasi yang MEMBALIK Tanda:
Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif
Contoh: \(-2x \lt 6\)
Bagi kedua ruas dengan \(-2\):
\(x \gt -3\) (tanda \(\lt\) berubah jadi \(\gt\))
Contoh Penyelesaian:
Contoh 1: \(3x + 5 \lt 14\)
\(3x + 5 \lt 14\)
\(3x \lt 14 - 5\) (kurangi 5 dari kedua ruas)
\(3x \lt 9\)
\(x \lt 3\) (bagi 3 positif, tanda tidak berubah)
Contoh 2: \(-2x + 6 \geq 10\)
\(-2x + 6 \geq 10\)
\(-2x \geq 10 - 6\) (kurangi 6)
\(-2x \geq 4\)
\(x \leq -2\) (bagi -2, tanda TERBALIK!)
D Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk Umum
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Dua Variabel:
\(ax + by \lt c\)
\(ax + by \gt c\)
\(ax + by \leq c\)
\(ax + by \geq c\)
dengan \(a, b, c\) adalah konstanta dan \(x, y\) adalah variabel
Contoh:
Contoh 1:
\(2x + 3y \leq 12\)
Contoh 2:
\(x - 2y \gt 4\)
Contoh 3:
\(5x + y \geq 10\)
Contoh 4:
\(x + y \lt 8\)
E Menggambar Daerah Penyelesaian
Penyelesaian pertidaksamaan dua variabel berupa daerah (area) pada bidang koordinat Cartesius.
📍 Langkah-Langkah:
- Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan (ganti tanda pertidaksamaan dengan =)
- Gambar garis persamaan tersebut
- Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan
- Arsir daerah penyelesaian
Jenis Garis:
Garis PUTUS-PUTUS (---)
Untuk tanda \(\lt\) atau \(\gt\)
Garis TIDAK termasuk daerah penyelesaian
Garis UTUH (───)
Untuk tanda \(\leq\) atau \(\geq\)
Garis TERMASUK daerah penyelesaian
Menentukan Daerah Penyelesaian:
Metode Uji Titik:
- Pilih titik uji (biasanya \((0,0)\) jika memungkinkan)
- Substitusikan ke pertidaksamaan
- Jika BENAR → arsir daerah yang mengandung titik uji
- Jika SALAH → arsir daerah yang TIDAK mengandung titik uji
💡 Tips Cepat:
- • Jika \(y \lt ...\) atau \(y \leq ...\) → arsir daerah DI BAWAH garis
- • Jika \(y \gt ...\) atau \(y \geq ...\) → arsir daerah DI ATAS garis
F Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Menggabungkan Beberapa Pertidaksamaan
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaiannya adalah irisan dari semua daerah penyelesaian.
📌 Langkah Menyelesaikan:
- Gambar garis untuk setiap pertidaksamaan
- Arsir daerah penyelesaian masing-masing
- Tentukan daerah irisan (yang diarsir oleh semua pertidaksamaan)
- Daerah irisan = daerah penyelesaian sistem
Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem:
\(\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)
Pertidaksamaan 1: \(x + y \leq 6\)
Garis: \(x + y = 6\) (garis utuh)
Titik: (0,6) dan (6,0)
Daerah: di bawah garis
Pertidaksamaan 2: \(x \geq 0\)
Garis: sumbu-y (garis utuh)
Daerah: sebelah kanan sumbu-y
Pertidaksamaan 3: \(y \geq 0\)
Garis: sumbu-x (garis utuh)
Daerah: di atas sumbu-x
Daerah Penyelesaian:
Segitiga dengan titik sudut: (0,0), (0,6), (6,0)
G Contoh Soal Pembahasan
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari \(2x - 3 \lt 7\)
Pembahasan:
\(2x - 3 \lt 7\)
\(2x \lt 7 + 3\)
\(2x \lt 10\)
\(x \lt 5\)
HP: \(\{x | x \lt 5, x \in \mathbb{R}\}\)
Contoh 2:
Selesaikan pertidaksamaan \(-3x + 6 \geq 15\)
Pembahasan:
\(-3x + 6 \geq 15\)
\(-3x \geq 15 - 6\)
\(-3x \geq 9\)
\(x \leq -3\) (tanda terbalik karena bagi negatif)
\(x \leq -3\)
Contoh 3: Soal Cerita
Umur Ani tidak lebih dari 15 tahun. Jika umur Ani adalah \(x\) tahun, buatlah pertidaksamaannya!
Pembahasan:
"tidak lebih dari" = \(\leq\)
Pertidaksamaan: \(x \leq 15\)
H Latihan Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari \(5x + 10 \gt 25\)
Lihat Jawaban
\(5x + 10 \gt 25\)
\(5x \gt 15\)
\(x \gt 3\)
HP: \(\{x | x \gt 3\}\)
2. Selesaikan pertidaksamaan \(-4x + 8 \leq 20\)
Lihat Jawaban
\(-4x + 8 \leq 20\)
\(-4x \leq 12\)
\(x \geq -3\) ( tanda terbalik!)
Jawaban: \(x \geq -3\)
3. Tentukan daerah penyelesaian dari \(2x + y \leq 8\) dengan \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\)
Lihat Jawaban
Langkah:
1. Garis \(2x + y = 8\) melalui (0,8) dan (4,0)
2. Arsir di bawah garis (karena \(\leq\))
3. Di kuadran I (karena \(x,y \geq 0\))
Daerah: Segitiga dengan titik sudut (0,0), (0,8), (4,0)
4. Harga 1 buku paling banyak Rp5.000. Jika harga buku adalah \(x\) rupiah, tentukan pertidaksamaannya!
Lihat Jawaban
"paling banyak" = \(\leq\)
Pertidaksamaan: \(x \leq 5000\)
5. Jika \(3 \leq x \lt 7\), tentukan nilai terkecil dan terbesar dari \(2x + 1\)
Lihat Jawaban
Untuk \(x = 3\): \(2(3) + 1 = 7\)
Untuk \(x\) mendekati 7: \(2(7) + 1 = 15\) (tidak termasuk)
Nilai terkecil: 7
Nilai terbesar: mendekati 15 (tapi tidak sama dengan 15)
Atau ditulis: \(7 \leq 2x+1 \lt 15\)
Rangkuman
- • Pertidaksamaan menggunakan tanda \(\lt, \gt, \leq, \geq\)
- • Mengalikan/membagi dengan bilangan negatif → tanda terbalik
- • Pertidaksamaan dua variabel → daerah penyelesaian (bukan titik)
- • Garis putus-putus untuk \(\lt\) dan \(\gt\), garis utuh untuk \(\leq\) dan \(\geq\)
- • Sistem pertidaksamaan → cari irisan daerah penyelesaian
Pelajari Materi Matematika Kelas 8 Lainnya:
- 1. Barisan dan Deret Aritmetika
- 2. Fungsi Komposisi
- 3. Invers Fungsi
- 4. Keliling dan Luas Bangun Datar
- 5. Peluang Kejadian Majemuk
- 6. Perbandingan Trigonometri
- 7. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel sedang dibaca
- 8. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data
Uji Pemahaman Materi Ini di Simulasi CBT!
Kerjakan soal-soal latihan terkait topik ini lengkap dengan pembahasan dan timer ujian mirip UTBK SNBT sesungguhnya.